Operasi Biner
Operasi biner pada himpunan
tidak kosong S adalah pemetaan dari S * S ke S. Notasi yang
digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, ×, *, · , Å , Ä ,
dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya Ä pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a Ä b.
Operasi biner pengaitan pasangan elemen (a,b) pada S
yang memenuhi dua kondisi berikut :
1. Setiap pasangan elemen (a,b) pada S dikaitkan dengan
tepat satu elemen. Kondisi ini disebut dengan kondisi tertutup (closed).
2. Setiap elemen yang dikaitkan dengan pasangan elemen
(a,b) pada S merupakan elemen di S. kondisi ini disebut dengan kondisi
terdefinisi dengan baik (well defined).
Sifat-sifat
Operasi Biner
a. Komutatif
Sifat komutatif dapat diartikan sebagai sifat pertukaran di dalam
operasi hitung matematika. Bisa disimpulkan bahwa sifat komutatif harus
memenuhi rumus :
a * b = b * a atau a ⊕ b = b ⊕ a
|
* dan ⊕ merupakan operasi biner
Soal:
1. Diketahui
:
Himpunan A merupakan bilangan asli. A =
{1, 2, 3, 4, 5......} dan
a * b = a + b + ab.
a * b = b * a
a + b + a.b = b + a + b.a
3 + 4 + 3.4
= 4 + 3 + 4.3
19 = 19
(Komutatif)
|
Misal, a = 3, b = 4
2. Diketahui
:
Himpunan A merupakan himpunan bilangan ganjil dan a * b = ab + a + b.
a * b = b * a
a.b + a + b = b.a + b + a
5.3 + 5 + 3 = 3.5 + 3 + 5
23 = 23 (Komutatif)
|
Misal, a = 5, b = 3
b. Asosiatif
Operasi biner pada suatu himpunan, misal himpunan S. Dikatakan
memiliki sifat asosiatif jika dan hanya jika, untuk setiap a,b,c ∈ S berlaku (a * b) * c = a * (b * c)
Contoh soal :
1. Diketahui K adalah himpunan semua bilangan bulat dan a
* b = a.b + 3. Apakah operasi binernya bersifat
asosiatif?
Pembahasan :
Rumus dasar asosiatif : (a * b) * c = a * (b * c)
(ab
+ 3) * c = a * (bc + 3)
Misal : ab + 3
= r dan bc + 3 = s
r * c = a * s → masukkan ke dalam rumus dasar
r.c + 3 = a.s
+ 3 → ubah r dan s ke dalam bentuk
awal
(a.b + 3) c + 3 = a (bc + 3) + 3
a.b.c + 3.c +
3 ≠ a.b.c + 3.a + 3
Jadi, operasi biner a * b = ab + 3 tidak bersifat asosiatif karena
(a * b) * c = a * (b * c) → a.b.c + 3.c
+ 3 ≠ a.b.c + 3.a + 3
2. Apakah operasi biner a Å b = 3ab bersifat asosiatif?
Pembahasan :
Rumus dasar asosiatif : (a Å b) Å c = a Å (b Å c)
(3.a.b) Å c = a Å (3.b.c)
Misal : 3.a.b =
p dan 3.b.c = q
p Å c = a Å q → masukkan ke
dalam rumus dasar
3.p.c = 3.a.q → ubah p dan q ke dalam
bentuk awal
3 (3.a.b) c = 3.a (3.b.c)
9.a.b.c
= 9.a.b.c
Jadi, operasi biner a Å b = 3ab bersifat asosiatif karena
(a Å b)
Å c = a Å (b Å c) → 9.a.b.c = 9.a.b.c
c.
Memiliki Identitas
Elemen identitas adalah elemen
yang membuat operasi biner memetakan ke dirinya sendiri atau secara metematis
ditulis : terdapat ℮ sedemikian, sehingga untuk setiap α elemen S berlaku :
℮ adalah elemen identitas.
Contoh Soal :
1.
Diketahui : Himpunan
A adalah himpunan bilangan
asli. A = { 1, 2, 3, 4, 5, ....} dan
a * b = a + b.
Ditanya :
Apakah himpunan A memiliki identitas ?
Jawab :
Misal, a = 4
a * ℮ = a ℮
* a = a
4 + ℮ = 4 ℮ + 4 = 4
℮ = 0 ℮ = 0
2.
Diketahui : Himpunan
A adalah bilangan ganjil. A = { 1, 3, 5, 7, ....} dan a * b = a + b + 3.
Ditanya :
Apakah himpunan A memiliki identitas ?
Jawab :
Misal, a = 7
a * ℮ = a ℮ * a = a
a + ℮ + 3 = a ℮ + a + 3 = 7
7 + ℮ + 3 = 7 ℮ + 7 + 3 = 7
℮ = -3 ℮ = -3
d.
Memiliki Invers
Unsur invers adalah sebuah
unsur bilangan jika dioperasikan dengan
bilangan lain yang akan menghasilkan sebuah unsur
identitas. Jika a adalah bilangan riil berlaku :
a + (-a) = (-a) + a = 0
Invers penjumlahan dari
a adalah –a, invers perkalian dari a adalah
sifat-sifat operasi hitung sangat berguna untuk memahami dan melakukan operasi
hitung pada bilangan bulat yang akan anda pelajari berikut ini.
·
Untuk setiap bilangan
bulat r, ada bilangan bulat yang tunggal demikian, sehingga r + (-r) = (-r) + r = 0
·
Penjumlahan “lawan”,
r + (-r) = 0
Misal, invers penjumlahan dari 4 = -4, karena 4 + (-4) = 0 (0 merupakan identitas
penjumlahan)
·
Perkalian “kebalikan”
Invers
perkalian dari 4 adalah
karena 4
x
= 1 (1 merupakan
identitas perkalian)
·
Bilangan asli tidak memiliki
memiliki elemen invers penjumlahan, misalnya untuk bilangan asli 2, invers
penjumlahan dari 2 adalah -2 dan -2 tidak termasuk bilangan asli.
·
Bilangan rasional
mempunyai elemen invers perkalian karena invers perkaliannya juga merupakan
bilangan rasional.
Contoh soal :
1. Diketahui C merupakan anggota
himpunan bilangan bulat dan
a * b = a + b + 1. Apakah C memiliki invers ?
a.
Mencari
identitas terlebih dahulu
Jawab :
Misal, a = 2
a * e = a e * a = a
a + e + 1
= a e + a +
1 = a
2 + e +
1= 2 e + 2 +
1 = 2
e = 2-3 e = 2-3
e = -1 e = -1
C memiliki identitas, yaitu e = -1. Karena a * e = a sama dengan e * a = a dan termasuk
ke dalam himpunan.
b.
Identitas
yang didapat, lalu dimasukkan ke dalam persamaan invers.
a * a-1 = e a-1 * a = e
a +
a-1 + 1 = e a-1 + a + 1 = e
2 +
a-1 + 1= -1 a-1 + 2 + 1 = -1
a-1
= -1-3 a-1 = -1-3
a-1 = -4 a-1 = -4
C memiliki invers karena a * a-1 = e sama dengan a-1 * a = e dan a-1 = -4 termasuk dalam himpunan.
2. Diketahui himpunan S merupakan anggota himpunan bilangan prima dan a * b = a.b + 3
Jawab :
Misal, a = 3
a. Mencari identitas terlebih dahulu
a * e = a e * a = a
a.e + 3 = a e.a + 3 = a
3.e + 3 = 3 e.3
+ 3 = 3
3e = 3-3 3e = 3-3
3e = 0 3e = 0
e = 0 e = 0
Karena S tidak
memiliki identitas, maka S tidak memiliki invers.
e. Sifat Tertutup
Dalam penjumlahan sepasang bilangan asli A, hasil
penjumlahan merupakan bilangan asli A. Himpunan A =
{1,2,3,4,5,6.....,n}. Misal, 3 + 5 = 8, 8 merupakan anggota himpunan bilangan asli A. Untuk
operasi pengurangan dan pembagian tidak tertutup pada himpunan bilangan asli.
Contoh soal
1. Operasi
(x,0) untuk bilangan bulat x adalah a * b = a + a.b, buktikan jika bilangan tersebut memiliki sifat tertutup!
Misal, a =
3
dan b =
1
a
* b = a + a.b
= 3
+ 3.1
=
3 +
3
= 6
|
Operasi bersifat tertutup, karena
hasil operasi tersebut masuk ke
dalam himpunan bilangan bulat.
2. Operasi
(t,0) pada himpunan bilangan genap
adalah a * b = a + b, tentukan apakah bilangan tersebut
termasuk dalam sifat tertutup?
Misal, a = 2
dan b = 6
a⊕b = a + b
=
2 + 6
=
8
|
Operasi bersifat tertutup, karena hasil operasi tersebut masuk ke dalam himpunan
bilangan genap.
Link download materi : Google Drive
